Моделирование и исследование процессов кодирования и декодирования циклических кодов. Применение циклических кодов и приема со стиранием для цифровых каналов связи

После запуска программы на экране появляется главное окно программы. В верхней части окна находится Главное меню программы. Под главным меню расположена Панель управления , которая для удобства работы с программой содержит кнопки быстрого вызова операций. Под Панелью управления расположена Область просмотра результатов моделирования. Внизу главного окна расположена Панель состояния модели (подсказок).

Главное меню содержит следующие пункты:

· Файл

· Параметризация

· Моделирование

Позиция Файл главного меню содержит следующие пункты:

· Создать – очистить область просмотра главного окна и параметры моделирования, приготовив их для ввода спецификаций входных данных.

· Открыть – открыть текстовый файл для просмотра в главном окне программы. Предназначен для просмотра сохраненных результатов предыдущих прогонов модели.

· Печать – вывести результаты моделирования (содержимое области просмотра) на принтер.

· Выход – выход из программы.

При выборе пункта Параметризация появляется диалоговое окно задания параметров модели.

Позиция Моделирование главного меню содержит два пункта:

· Начать моделирование ;

· Результаты моделирования ;

Выбор пункта Начать моделирование запускает процесс моделирования передачи данных. При этом появляется окно с индикатором хода (процента выполнения) процесса моделирования. При нажатии на кнопку Отмена система просит подтвердить прекращение процесса моделирования. При завершении или прекращении моделирования в главное окно программы выводятся результаты моделирования.

Выбор пункта Результаты моделирования приводит к выводу в главное окно программы результатов последнего моделирования (Это могут быть и результаты предшествующих прогонов модели, если загрузить файл результатов другого процесса).

Позиция «?» главного меню содержит пункт О программе , при выборе которой выводится информация о программе.

Под главным меню расположена Панель управления , которая для удобства работы с программой содержит следующие кнопки:

· Создать (Очистить от старого и создать)

· Параметризация модели

· Начать моделирование

5.3 Параметризация модели

При выборе пункта Параметризация появляется диалоговое окно задания параметров модели. Это окно содержит две закладки: Протокол и Канал , которые предназначены для ввода параметров протокола и каналов (прямого и обратного).

5.3.1 Параметризация протокола

При выборе закладки Протокол появляется окно, показанное на рис. 2. В данном окне задаются следующие параметры протокола.

1). Тип моделируемого протокола:

· ARQ с остановкой и ожиданием;

· ARQ c окном на N пакетов;

· ARQ c выборочным переспросом;

· «Эхо» с ретрансляцией кадра;

· «Эхо» с ретрансляцией CRC;

2). Порождающий полином циклического кода:

Каждый кадр (как прямой, так и обратный) имеет битовое поле CRC с размером, равным степени порождающего полинома, и поле информационных бит. И в прямом, и в обратном кадрах информационная часть несет собственно данные, которые передаются (в обратном кадре информационные биты пустые). Порядковые номера кадров и подтверждений, хотя передаются вместе с кадром, не занимают места в его длине, т. к. находятся в заголовке.

Рис. 2. Окно параметризации протокола

3). Тайм-аут на подтверждение пакета и время, затрачиваемое на обработку кадров (в том числе на кодирование и декодирование). Таймер начинает отсчет с момента окончания передачи кадра. Одна и та же величина тайм-аута действует как для станции – отправителя, так и получателя.

Т.к. модель не учитывает возможную потерю кадров в сети, то механизм тайм-аута отсутствует в протоколах без окна Значение тайм-аута в этом случае может быть любое, даже нулевое. В протоколах с окном тайм-аут может иметь (по умолчанию) нулевое значение, что допустимо, но нежелательно.

Время в модели измеряется в BT (bit-time). Один ВТ соответствует времени передачи одного бита в прямом канале. BT при необходимости может быть выражена в секундах, если названа пропускная способность (скорость) канала (бит/с). Тайм-аут задается от момента окончания передачи пакета.

4). Задается допустимое количество попыток передачи одного пакета. При превышении этого числа моделирование прекращается. Если это число задается равным нулю, то учет количества попыток передачи не производится.

5). Для протоколов ARQ с окном на N пакетов и ARQ с выборочным переспросом необходимо задать значение модуля нумерации пакетов. В зависимости от модуля нумерации и типа протокола модель вычисляет «ширину окна». Выбор модуля нумерации следует связывать со скорости передачи данных и задержки распространения сигнала в линии. Для протоколов ARQ с остановкой и ожиданием и протоколов с эхо-сигналом модуль нумерации пакетов принимается равным двум.

6). Длины кадров отдельно в прямом и обратном каналах. В этом же окне задается объем передаваемых данных (длина файла, который рассматривается как пользовательское сообщение).

При задании длин кадров и объема передаваемых данных имеется возможность выбора единицы измерения. Длина кадров прямого направления может быть постоянной или переменной. Можно выбрать кадры данных постоянной или переменной длины. При задании постоянной длины кадра указывается непосредственно эта длина. При задании переменной длины кадра указывается максимальная и минимальная длина. В последнем случае при моделировании генерируются кадры с длиной, равномерно распределенной в интервале от минимальной заданной до максимальной. Длина кадров в обратном направлении может быть только постоянной.

ВНИМАНИЕ: длины кадров прямого и обратного потока определяются по разным правилам. В поле с названием «Длина пакета данных» диалогового окна нужно ввести полную длину кадра прямого направления, включая контрольные биты. В поле «Длина пакета подтверждения» ожидается ввод длины только информационной части кадра подтверждения, не считая контрольных бит. Например, если в первом поле введено 32, а во втором 2 и используется код CRC‑16, то прямые кадры будут иметь общую длину 32 бита, из которых 16 контрольные, а обратные кадры будут иметь длину 18 бит, из которых 16 контрольные, а 2 информационные.

Для протоколов с эхо-сигналом поле длины обратного кадра не играет роли, т.к. длины обратных кадров определяются длинами прямых.

5.3.2 Параметризация каналов

При выборе закладки Канал появляется окно задания параметров прямого и обратного каналов. Для каждого канала можно задавать следующие параметры:

1). Скорость передачи (в бит/c и кратных величинах). Скорость обратного канала не должна быть больше, чем скорость прямого. Если она меньше, то в целое число раз.

2). Задержка распространения сигнала в канале (и, следовательно, неявно заданная длина);

3). Характер ошибок: независимые или ошибки типа «пачка».

При моделировании работы каналов с независимыми ошибками задается р б – вероятность ошибки в принятом бите на физическом уровне. При моделировании работы каналов с группированием ошибок задается вероятность появления пачки ошибок р пач, а также математическое ожидание и дисперсия длины пачки (длина пачки – случайная величина с нормальным распределением).

5.4 Моделирование

Меню Моделирование содержит два пункта:

à Начать моделирование – запуск процесса моделирования;

à Результаты моделирования – отображение результатов в области просмотра.

Результаты моделирования и их интерпретация

После окончания моделирования на экран выводится (для справки) сводка входных параметров данного запуска модели, а затем как результаты отображаются следующие статистические данные, накопленные в процессе моделирования:

à Общее время передачи (в единицах BT и в секундах), засекается начиная с момента начала передачи первого пакета станцией-отправителем, вплоть до момента приема последнего пакета станцией-получателем;

à Размер переданного файла – общий объем данных, предназначавшихся к передаче и поступивших от вышестоящего уровня (в байтах). Каждый отправляемый в процессе передачи кадр прямого направления несет в своем информационном поле порцию бит из общего объема.

à Результирующие данные у стороны-отправителя:

«отправлено бит» – общее число отправленных в кадрах бит (в полном объеме, считая биты CRC);

«отправлено пакетов» – общее количество отправленных кадров, которые пришлось послать для передачи общего числа бит, включая повторные кадры;

«отправлено пакетов данных» – количество кадров, которые пришлось послать для передачи общего числа бит, не считая повторные кадры, т.е. число уникальных (не повторных, «полезных») отправленных кадров;

«получено пакетов с ошибками» – количество кадров, при передаче которых через линию в них возникли ошибки;

«обнаружено пакетов с ошибками» – количество кадров, в которых возникновение ошибок было обнаружено декодером приемной стороны;

à «суммарный вес ошибок» – общее число искаженных бит.

à Результирующие данные у стороны-получателя, которые интерпретируются аналогичным образом.

Кафедра «Электрическая связь»

Отчёт по лабораторной работе №1

Моделирование и исследование процессов кодирования и декодирования циклических кодов

Работы выполнил
студенты группы АТк-404
МАВРИН А.М.

1. Исходные данные

Вариант 15

В системе передачи данных имеется 15 объектов на каждой из 63 станций. Канал передачи информации – односторонний с независимыми ошибками.

2. Цель работы

1. Определить параметры циклического несистематического (n,k) кода.

2. Проверить заданный производящий многочлен на соответствие выбранному коду (три условия).

3. Закодировать информационную комбинацию в несистематическую кодовую комбинацию .

4. Построить схему кодирования и составить таблицу состояний для иллюстрации работы этой схемы.

5. Определить теоретически синдром ошибки.

6. Построить схему генератора синдромов.

7. По таблице состояний для этой схемы определить синдром ошибки.

8. Исказить кодовую комбинацию на один или два элемента (в зависимости от количества ошибок по заданию) и показать, на каком такте произойдёт исправление ошибки (по таблице состояний).

3. Выполнение работы

3.1. Определение параметров циклического кода

3.2. Проверка производящего полинома на соответствие выбранному коду

а) (n – k ) = 4 (высшая степень полинома, верно )

4. Кодирование

4.1. Построение схемы кодера

4.2. Уравнения функционирования

4.3. Таблица, иллюстрирующая схему работы кодера

Таблица 1

Несимметричные постоянные каналы редко встречаются на практике и теория кодирования для них мало разработана. При кодировании без избыточности максимум скорости передачи информации в несимметричном канале имеет место при неравномерном распределении априорных вероятностей, когда чаще используются те символы, которые принимаются более правильно.

Ограничимся кратким рассмотрением двоичного несимметричного постоянного канала. Пусть используются символы 0 и 1, причем и . Обозначим априорные вероятности этих символов соответственно и .

Тогда среднее количество переданной информации на каждый символ равно

Дифференцируя это выражение по с учетом того, что , и приравнивая производную к нулю, можно найти оптимальное априорное распределение вероятностей символов, обеспечивающее максимум передаваемой информации. Оптимальное значение оказывается равным

(2.56)

Найдя и подставив его в (2.55), можно найти максимальное количество передаваемой в таком канале информации и его пропускную способность .

В частном случае симметричного канала величина равна нулю и оптимальное значение , как и следовало ожидать, равно 0,5.

В предельном случае, когда один из символов, например «1», всегда принимается правильно , a другой символ «0» может приниматься как «1» с вероятностью , выражение (2.56) упрощается

(2.56а)

Заметны, что в этом случае символ «1» является «надежным» передаваемым символом, так как он всегда принимается верно. Однако «достоверным» принятым символом является (0), так как приняв его, можно с полной достоверностью утверждать, что именно этот символ передавался.

В частном случае, когда , а , оптимальным распределением вероятностей символов оказывается и . Пропускная способность такого канала равна . Заметим, что эта пропускная способность значительно выше, чем у симметричного канала с той же средней вероятностью ошибок (), которая равна .

Пропускная способность несимметричного канала равна пулю, когда . При этом принятые символы не содержат никакой информации о переданных, так как апостериорные вероятности символов «0» и «1» совпадают с априорными.

Для несимметричного канала, в котором (или так что практически величиной можно пренебречь), можно применить эффективные корректирующие коды, позволяющие обнаруживать и исправлять ошибки . Однако теория таких кодов мало разработана и существенно отличается от теории кодирования в симметричных каналах. Так, например, код, состоящий из кодовых комбинаций 00 и 11, позволяет исправлять одну ошибку (переход 0 в 1), если условиться декодировать принятые комбинации 01 и 10 как 00. В то же время код, состоящий из комбинации 01 и 10 не даст возможности исправлять ошибку, а позволяет только ее обнаруживать, хотя оба эти кода характеризуются одинаковым хемминговым расстоянием, равным 2. Заметим, что в симметричном канале оба эти кода позволяют только обнаружить одиночную ошибку.

Значительно больший практический интерес представляют непостоянные каналы пли каналы с памятью. К ним относится подавляющее большинство каналов, с которыми приходится встречаться в технике связи. Симметричные каналы с памятью отличаются от симметричных постоянных каналов тем, что распределение числа ошибок на протяжении некоторого блока символов с любой длиной не всегда подчиняется биноминальному распределению. Если в постоянном канале условная вероятность ошибочного приема -го символа при условии, что -й символ принят ошибочно, равна безусловной вероятности ошибки

то в канале с памятью она может бить больше или меньше этой величины.

Отклонение распределения ошибок от биномиального в реальных каналах вызывается различными причинами. Так, дискретным отображением большинства радиоканалов является канал с памятью вследствие обычно имеющих место замираний, которые будут рассмотрены в пятой главе. Другой причиной могут являться атмосферные и взаимные помехи. Иногда отклонение от биномиального распределения вызывается особенностями примененного метода модуляции и демодуляции. В уплотненных кабельных линиях связи причиной «памяти» обычно считают наличие коммутационных помех , возникающих при переключениях отдельных элементов канала и по существу выводящих па короткое время канал из строя.

Изучение каналов с памятью, разработка корректирующих кодов для них и оценка их эффективности затрудняются тем, что для описания такого канала недостаточно знать один параметр (каким является вероятность ошибки в постоянном симметричном канале). Для этого нужно уметь определять вероятности любых сочетаний ошибок в пределах блока любой длины п. С целью получения таких данных прибегают к экспериментальному исследованию различных реальных каналов. Однако обобщение полученных экспериментальных результатов затрудняется тем, что не всегда удается, подобрать удобное аналитическое представление, тем более, что различные каналы ведут себя по-разному. Поэтому исследователи пытаются построить такие математические модели дискретного канала с памятью, которые определяются лишь небольшим числом параметров, соответствующий подбор которых позволяет хотя бы в общих чертах описать поведение реальных каналов.

Отметим прежде всего основные особенности, по которым можно классифицировать каналы с памятью. Подавляющее большинство каналов, встречающихся на практике, удовлетворяет условию

Это означает, что по сравнению с постоянным каналом в таком канале ошибки имеют тенденцию группироваться. С увеличением неравенство (2.58) обычно приближается к равенству. Такие каналы будем называть каналами с группированием ошибок .

В большей части каналов с группированием ошибок ; в частности, в двоичном канале . Такие каналы можно назвать нормальными каналами с группированием ошибок в отличие от аномальных каналов, в которых может превышать .

Все известные математические модели каналов с памятью построены почти исключительно для описания нормальных каналов с группированием ошибок. Простейшей моделью канала с памятью является марковская , т.е. представление последовательности ошибок в виде простой цепи Маркова |2]. При этом вероятность того, что данный символ будет принят ошибочно, равна некоторой величине , если предыдущий символ был принят верно, и некоторой другой величине , если предыдущий символ был принят ошибочно.

При марковская модель представляет нормальный канал с группированием ошибок, при - канал с рассредоточенными ошибками. Безусловная (средняя) вероятность ошибки в таком канале должна удовлетворять уравнению

(2.60)

При такой модели чрезвычайно просто вычисляется вероятность любого сочетания ошибок и легко оценивается эффективность любого кода. К сожалению, однако, эта модель очень грубо воспроизводит свойства реальных каналов с группированием ошибок. Поэтому в настоящее время ею не пользуются.

Попытки описать канал цепью Маркова более высокого порядка (т. е. считать, что вероятность ошибочного приема символа однозначно определяется тем, как приняты предыдущие символов) также не увенчались успехом. При малых такая модель плохо согласуется с экспериментом, при больших она неудобна для расчетов.

Несколько более успешно используется модель Гильберта (точнее, Джильберта) . Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях и . В состоянии ошибок не происходит, в состоянии ошибки возникают независимо с вероятностью . Известна вероятность -перехода (при передаче очередного символа) из состояния в состояние и вероятность -перехода из в . Таким образом, здесь простую марковскую цепь образует не последовательность ошибок, а последовательность состояний.

Вероятности пребывания канала в состояниях и , как легко подсчитать, равны

а безусловная вероятность ошибки

Чаще всего, при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают . Другими словами, состояние рассматривается как полный обрыв связи, тогда как в состоянии шумы в канале отсутствуют. Это довольно хорошо согласуется с представлением о канале, в котором действуют только коммутационные помехи.

Более общей, но менее удобной для расчетов является модель Беннета-Фрелиха . Согласно этой модели ошибки возникают в виде более или менее продолжительных всплесков или пачек. Под пачкой подразумевается последовательность символов, в которой первый и последний приняты ошибочно, а между ними могут быть как правильно, так и ошибочно принятые символы. Предполагается, что пачки возникают независимо друг от друга с вероятностью . Помимо этой вероятности канал характеризуется вероятностью ошибок внутри пачки и распределением вероятностей длины (числа символов) пачки . Подбирая значения и , а также вид функции , в ряде случаев удастся получить описание канала, согласующееся с экспериментальными результатами. Вычисления вероятностей различных сочетаний ошибок и результата их исправления корректирующими кодами по модели Беннета-Фрелиха довольно сложны и обычно заменяются моделированием на цифровых вычислительных машинах.

Заметим, что понятие пачки ошибок не совпадает с понятием состояния в модели Гильберта. Состояние , как и пачка, характеризуется ненулевой вероятностью ошибок , но в отличие от пачки не ставится условие, чтобы состояние начиналось и заканчивалось ошибочно принятыми символами.

Модель Беннета-Фрелиха более гибка, чем модель Гильберта, так как она допускает весьма свободный выбор функции , на которую наложено только обычное условие нормирования, тогда как в модели Гильберта распределение вероятностей длительности состояния всегда выражается формулой , т. е. однозначно определяется величиной . Тем не менее для многих экспериментально исследованных каналов не удастся удовлетворительно подобрать параметры модели Беннета-Фрелиха, а тем более модели Гильберта. Ввиду этого О.В.Попов предложил более сложную модель дискретного канала, отличающуюся от модели Беннета-Фрелиха тем, что пачки ошибок считаются не независимыми. Согласно этой модели канал может находиться в двух состояниях, причем в первом состоянии ошибки не возникают, а во втором состоянии с определенной вероятностью возникают пачки ошибок; параметрами являются вероятности переходов из одного состояния в другое; вероятность возникновения пачки во втором состоянии, вероятность ошибки внутри пачки (которая обычно равна 0,5) и распределение вероятностей длины пачки. В большинстве случаев удается этими параметрами достаточно хорошо характеризовать реальные каналы.

Попытка описать двоичный канал с группированием ошибок при помощи всего лишь двух параметров - вероятности ошибок и показателя группирования , сделана в . С этой целью рассматривается условное математическое ожидание числа ошибок в блоке длиной при условии, что произошло не менее ошибок. Величина при согласно проведенным экспериментам достаточно хорошо аппроксимируется для некоторых каналов эмпирическими выражениями

при

где - параметр, зависящий от характеристик канала. Для постоянных каналов ; чем значительнее группируются ошибки, тем больше . При ошибки следуют сплошными потоками. Заметим, что по определению. Зная и , можно вычислить вероятности различного числа ошибок в блоках любой длины, не задумываясь о механизме, вызывающем группирование.

Все описанные модели дискретного канала с памятью также являются в значительной мере формальными. При их построении не учитываются причины, вызывающие группирование ошибок, а попросту подбирается вероятностная схема, которая должна описывать наблюдаемые факты. Правда, для некоторых моделей (например, Беннета-Фрелиха) часто подводят «физическую базу», говоря о том, что источником ошибок являются только коммутационные помехи или всплески импульсных помех, возникающие независимо (в модели Попова зависимо) друг от друга и поражающие более или менее длительный отрезок сигнала. По эти модели применяют, и довольно успешно, также к таким каналам, в которых заведомо существуют и другие виды помех .

В отличие от формальных математических моделей дискретных каналов в последнее время уделяется внимание построению физических моделей. В этих моделях дискретный канал рассматривается как отображение непрерывного канала и распределение ошибок выводится из вероятностных свойств сигнала и помехи в непрерывном канале. Так, например, В. И. Коржик рассмотрел распределение ошибок в канале с флюктуационной помехой, когда сигнал подвержен релеевским замираниям (см. гл. 5). С некоторыми из таких моделей мы познакомимся в последующих главах.

Вычисление пропускной способности различных моделей дискретного канала с памятью представляет собой сложную задачу. Для модели Гильберта она решена в . Впрочем, в случае, когда состояния канала меняются очень редко, можно приближенно определить пропускную способность, зная пропускную способность постоянных каналов, соответствующих этим состояниям. Рассмотрим, например, обобщение модели Гильберта, полагая, что канал может находиться в состояниях с вероятностью ошибки и с вероятностью ошибки, причем вероятности - и -переходов из одного состояния в другое очень малы, вследствие чего состояния изменяются редко. Для определенности предположим, что .

Пропускную способность такого канала можно приближенно определить, усредняя «частичные» пропускные способности по состояниям и :

(2.61)

где и - соответственно вероятности состояний и и - пропускные способности для симметричных каналов с вероятностями ошибок и .

Если бы состояние канала было в каждый момент известно обоим корреспондентам, то формула (2.61) была бы точной и можно было бы в каждом состоянии применять свой корректирующий код, приспособленный к данному значению вероятности ошибки. Но для этого нужно, чтобы на передающее устройство поступала информация с приемного устройства, но которой можно было бы судить о состоянии канала. Этот случай будет рассмотрен в гл. 11.

Очевидно, что применение кода, рассчитанного на постоянный симметричный канал с вероятностью ошибки равной средней вероятности ошибок в канале с памятью:

не приводит к цели. Действительно, пусть применен -разрядный корректирующий код, позволяющий исправлять ошибок в кодовой комбинации. В постоянном канале, если вероятность того, что в кодовой комбинации будет больше чем ошибочно принятых символов, может быть сдана очень малой. Такой код в постоянном канале обеспечивает высокую верность принятых сообщений. В рассматриваемом же канале такой код, если больше но меньше , не обеспечит верности, так как те комбинации, которые передаются в худших условиях (в состоянии ) с большой вероятностью будут приняты с числом ошибок, превышающим , и, следовательно, не будут исправлены. В то же время тс комбинации, которые переданы в состоянии , будут иметь, как правило, значительно меньше чем ошибочно принятых символов (так как ), и для них исправляющая способность кода чрезмерно велика, т. е. код имеет чересчур большую избыточность. Другими словами, хотя среднее количество ошибок в кодовой комбинации равно но эти ошибки расположены не равномерно, а появляются чаще всего пачками, когда канал находится в состоянии .

Конечно, в этом случае можно было бы применить корректирующий код, рассчитанный на худшие условия (состояние ), и ценой большой избыточности (т. е. замедления передачи информации) обеспечить требуемую верность. Но для состояния такая избыточность была бы непомерно велика. При этом используемая пропускная способность канала сводится по существу к - пропускной способности в наихудших условиях. Поэтому такой метод кодирования весьма невыгоден. В некоторых случаях (например, при радиосвязи с отражением от метеорных следов) такое кодирование вообще невозможно, так как в состоянии пропускная способность практически снижается до нуля.

Одним из возможных решений может быть следующее. Применим код, содержащий столь длинные комбинации, что на протяжении каждой такой комбинации канал с большой вероятностью несколько раз сменит свое состояние. При этом условии ожидаемое количество ошибок в комбинации определяется средней вероятностью ошибок . Если количество исправляемых ошибок в комбинации значительно превосходит то в этом случае все комбинации с большой вероятностью будут правильно декодированы. Однако и этот метод кодирования имеет два существенных недостатка. Во-первых, в реальных условиях (например, при замираниях) длина кодовой комбинации должна быть столь велика (порядка тысяч разрядов), что практическая реализация схем кодирования и декодирования наталкивается на непреодолимые трудности. Во-вторых, такой метод кодирования по существу рассчитан на постоянный симметричный канал с вероятностью ошибок . Но пропускная способность такого канала, как можно доказать, всегда меньше пропускной способности канала с памятью при той же средней вероятности ошибки. Поэтому в принципе должны существовать более экономные коды, обеспечивающие в канале с памятью такую же верность при меньшей избыточности.

Первый из этих недостатков можно в значительной степени преодолеть, применяя корректирующие коды с относительно короткими комбинациями в сочетании с системой «декорреляции ошибок». Эта система заключается в том, что сообщения колируются обычным образом с помощью, например, систематического кеда, причем длина комбинации и число исправляемых ошибок (а следовательно, избыточность кода) выбираются исходя из условий получения требуемой верности в постоянном симметричном канале с вероятностью ошибок . Полученные при этом символы кодовой комбинации передаются в канал не непосредственно один за другим, а со значительными промежутками времени. В этих промежутках передаются символы других кодовых комбинаций. Этот процесс можно наглядно представить следующим образом . Запишем кодовых комбинаций в виде таблицы:

Здесь каждая строка представляет -разрядную комбинацию корректирующего кода. Будем осуществлять передачу этих символов не по строчкам, а по столбцам, т. е. сначала передадим поочередно 1-е разряды всех комбинаций, затем все 2-е разряды и т. д. Если количество комбинаций в таблице достаточно велико, то за время ее передачи канал успеет несколько раз сменить свое состояние, и среднее количество ошибок в каждой кодовой комбинация будет определяться средней вероятностью ошибки . Пачки ошибок при этом распределятся между различными кодовыми комбинациями, а не будут сосредоточены в отдельных комбинациях, как это имеет место при обычной последовательной передаче. Принятые символы аналогичным образом расставляются по своим местам, после чего производится декодирование. При этом устройства кодирования и декодирования оказываются не более сложными, чем в постоянных каналах, но требуются дополнительные запоминающие устройства значительной емкости на передатчике и приемнике.

Декорреляция ошибок сравнительно просто осуществляется при применении цепного кода, описанного в § 2.6. Именно с этой целью там применен отличный от нуля «шаг» кода . При достаточно большом значении символы, входящие в одну и ту же проверку на четность (2.51), будут разнесены по времени настолько, что состояние канала за это время успеет измениться. Другими словами, пачка ошибок будет, как правило, захватывать только символы, не связанные друг с другом проверками на четность. Для этого необходимо, чтобы шаг превышал количество ошибок в самом длинном из ожидаемых всплесков.

Хотя кодирование с декорреляцией ошибок позволяет применить обычные корректирующие коды в канале с памятью, однако, как уже указывалось, этот метод остается неэкономичным, поскольку он не использует повышения пропускной способности такого канала но сравнению с постоянным, имеющим ту же среднюю вероятность ошибки.

В связи с этим большой интерес представляют коды, позволяющие исправлять пачки ошибок. Если в постоянном симметричном канале вероятность того, что в блоке из символов произойдет ошибок, не зависит от того, как расположены ошибочно принятые символы в блоке, то в канале с группированием ошибок значительно более вероятно ошибочно принять близко отстоящих друг от друга символов, чем равномерно распределенных по всему блоку. Поэтому имеет смысл строить корректирующий код таким образом, чтобы исправлять не все ошибки определенной кратности, а такие, которые представляют пачку некоторой определенной длины . Такой код исправляет любое сочетание ошибок, если между первые и последним ошибочно принятыми символами находится не более разрядов, среди которых может быть сколько угодно ошибочных. При этом величина может быть значительно большей, чем число независимых ошибок, которое мог бы исправить код при той же избыточности.

В 1959 г. Н. Абрамсон предложил циклический код, позволяющий исправлять как одиночные, так и двойные смежные ошибки . Вскоре П. Файр излучил обобщение этого результата, построив коды, позволяющие обнаруживать и исправлять пачки ошибок при . Эти коды оказались циклическими или укороченными циклическими кодами . Найдены также и другие коды, исправляющие пачки ошибок. Практическое применение их затрудняется тем, что при не очень большой избыточности, как правило, . Так, например, код Файра (279, 265), содержащий 265 информационных и 14 проверочных разрядов, позволяет исправить только одну пачку ошибок длиной . Другой код со значительно большей избыточностью (44, 22) исправляет пачки длиной . Заметим, что этот же код в условиях постоянного канала позволяет исправить только одиночные, двойные и в отдельных случаях тройные ошибки. Значительно более успешно осуществляется в циклических кодах обнаружение пачек ошибок .

Поскольку в реальных каналах часто наблюдаются пачки ошибок длиной в несколько десятков и даже сотен символов, для их исправления потребовался бы код с длиной кодовой комбинации, измеряемой тысячами и даже десятками тысяч разрядов, что в настоящее время технически почти неосуществимо. Поэтому предпочитают использовать циклические коды не для исправления, а для обнаружения пачек ошибок в системах с обратной связью (см. гл. 11).

В качестве примера симметричного аномального марковского канала рассмотрим двоичный канал с двумя состояниями, где в состоянии вероятность ошибки , а в состоянии вероятность ошибки , причем после правильного приема символа канал находится в состоянии , а после ошибочного приема - в состоянии . Другими словами, в состоянии все символы принимаются правильно, пока не произойдет ошибка, имеющая вероятность , после чего все последующие символы принимаются «в негативе» т. е. вместо «0» принимается «1» и наоборот, пока символ не будет принят правильно, что в состоянии произойдет с вероятностью . После этого канал перейдет в состояние . Легко убедиться, что оба состояния равновероятны и средняя вероятность ошибки . При такой вероятности ошибки пропускная способность постоянного канала равна нулю, тогда как рассматриваемый канал согласно (2.58) и (2.28) имеет относительно большую пропускную способность

Такой канал является несколько идеализированным дискретным отображением реального канала, в котором применена двоичная фазовая модуляция на 180° при небольшом уровне аддитивных помех. Для преодоления тенденции «перескока в негатив» в настоящее время широко используется метод так называемой относительной фазовой манипуляции, сущность которого сводится к перекодированию передаваемой последовательности символов.

Пусть сообщение закодировано каким угодно образом в виде последовательности двоичных символов . Произведем посимвольное перекодирование этой последовательности без внесения дополнительной избыточности в новую последовательность по следующему закону:

Будет восстановлен символ а вместо символа - символ . Легко видеть, что все последующие символы (до перехода канала в позитив) будут также восстановлены правильно, а в момент перехода в позитив один символ будет восстановлен ошибочно. Таким образом, при каждом переходе канала из одного состояния в другое один из передаваемых символов будет принят с ошибкой. В результате примененное перекодирование превращает этот марковский канал в однородный канал с вероятностью ошибки . Если при первоначальном кодировании сообщения в символы применить код, исправляющий одиночные ошибки, то можно получить высокую верность приема в таком канале.

Получим:

Для того чтобы обеспечить высокую верность приема в этом случае, следует при составлении последовательности символов применить код, исправляющий пакеты ошибок длиной в два разряда .

В качестве примера несимметричного, но симметричного в среднем канала укажем на дискретное отображение реального канала с частотной модуляцией (ЧТ) при узкополосной помехе, которая может попасть в тракт нажатия, в тракт отжатия, либо вообще не попасть в полосу пропускания приемного устройства. Такой канал имеет три состояния. В состоянии канал симметричен и вероятность ошибок. В состоянии вероятность вероятность двух ошибок в не очень длинной кодовой комбинации вообще мала, поскольку -разрядном коде все комбинации имеют вес информационных разрядах число проверочных разрядов должно быть не менее , откуда

Такие коды также обнаруживают все ошибки, кроме части ошибок смещения.

Рассмотренные каналы с памятью далеко не исчерпывают всех возможных случаев. К тому же они являются лишь очень грубыми моделями реальных каналов. Тем не менее приведенные рассуждения позволили в общих чертах пояснить особенности задачи кодирования в таких каналах и показать, что непосредственное применение корректирующих кодов, разработанных для постоянных каналов, как правило, не приводит к положительным результатам.

Для того чтобы дать математическое описание канала, необходимо и достаточно указать множество сигналов, которые могут быть поданы на его вход, и для любого допустимого входного сигнала задать случайный процесс (сигнал) на выходе канала. Задание процесса понимается в том смысле, как это было определено

в § 2.1, и сводится к заданию в той или иной форме распределения вероятностей.

Точное математическое описание любого реального канала обычно оказывается весьма сложным. Вместо этого пользуются упрощенными математическими моделями, которые позволяют выявить все важнейшие закономерности реального канала, если при построении модели учтены наиболее существенные особенности канала и отброшены второстепенные детали, мало влияющие на ход связи.

Рассмотрим наиболее простые и широко используемые математические модели каналов, начав с непрерывных каналов, поскольку они во многом предопределяют и характер дискретных каналов.

Идеальный канал без помех представляет собой линейную цепь с постоянной передаточной функцией, обычно сосредоточенной в ограниченной полосе частот. Допустимы любые входные сигналы, спектр которых лежит в определенной полосе частот и имеющие ограниченную среднюю мощность (либо пиковую мощность Рпик). Эти ограничения характерны для всех непрерывных каналов, и в дальнейшем они оговариваться не будут. Заметим, что если мощность сигнала не ограничивать, но считать конечной, то множество допустимых сигналов образует векторное пространство, конечномерное (при определенных ограничениях на длительность и ширину спектра) либо бесконечномерное (при более слабых ограничениях). В идеальном канале выходной сигнал при заданном входном оказывается детерминированным. Эта модель иногда используется для описания кабельных каналов. Однако, строго говоря, она непригодна для реальных каналов, в которых неизбежно присутствуют, хотя бы и очень слабые, аддитивные помехи.

Канал с аддитивным гауссовским шумом, в котором сигнал на выходе

где входной сигнал; постоянные; гауссовский аддитивный шум с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией. Чаще всего рассматривается белый шум либо квазибелый (с равномерной спектральной плотностью в полосе спектра сигнала

Обычно запаздывание не учитывают, что соответствует изменению начала отсчета времени на выходе канала.

Некоторое усложнение этой модели получается, если коэффициент передачи и запаздывание считать известными функциями времени:

Такая модель удовлетворительно описывает многие проводные каналы, радиоканалы при связи в пределах прямой видимости, а

также радиоканалы с медленными общими замираниями, при которых можно надежно предсказать значения

Канал с неопределенной фазой сигнала отличается от предыдущего тем, что в нем запаздывание является случайной величиной. Для узкополосных сигналов, с учетом (2.69) и (3.2), выражение (3.29) при постоянном и случайных можно представить в виде

где преобразование Гильберта от случайная начальная фаза. Распределение вероятностей предполагается заданным, чаще всего его задают равномерным на интервале от 0 до Эта модель удовлетворительно описывает те же каналы, что и предыдущая, если фаза сигнала в них флуктуирует. Такая флуктуация вызывается небольшими изменениями протяженности канала, свойств среды, в которой проходит сигнал, а также фазовой нестабильностью опорных генераторов.

Однолучевой гауссовский канал с общими замираниями (флуктуациями амплитуд и фаз сигнала) также описывается формулой (3.30), но множитель К, как и фаза считаются случайными процессами. Иными словами, случайными будут квадратурные компоненты

При изменении квадратурных компонент во времени принимаемое колебание

Как отмечалось на с. 94, одномерное распределение коэффициента передачи может быть рэлеевским (3.25) или обобщенным рэлеевским (3.26). Такие каналы называют соответственно каналами с рэлеевскими или с обобщенными рэлеевскими замираниями. В более общем случае имеет четырехпараметрическое распределение . Такую модель называют обобщенной гауссовской. Модель однолучевого канала с замираниями достаточно хорошо описывает многие каналы радиосвязи в различных диапазонах волн, а также некоторые другие каналы.

Линейный канал со случайной передаточной функцией и гауссовским шумом представляет собой дальнейшее обобщение. В талом канале выходное колебание выражается через входной сигнал и случайную импульсную реакцию канала

Эта модель достаточно универсальна как для проводной, так и для радиосвязи и описывает каналы с рассеянием во времени по частоте. Часто рассеянию во времени канала можно приписать дискретный характер (модель многолучевого канала) и вместо (3.33) пользоваться представлением

где число лучей в канале; квадратурные компоненты передаточной функции канала для луча, которые в пределах спектра узкополосного сигнала практически не зависят от со.

Канал с рассеянием времени и по частоте задан полностью, если помимо корреляционной функций шума задана статистика случайной импульсной реакции канала (или передаточной функции или статистика квадратурных компонент по всем лучам. В зависимости от значений входящих сюда параметров в таком канале могут наблюдаться селективные замирания и эхо-сигналы.

Каналы со сложной аддитивной помехой (флуктуационной, сосредоточенной, импульсной) описываются любой из предыдущих моделей с добавлением дополнительных компонент аддитивной помехи. Их полное описание требует задания вероятностных характеристик всех компонент аддитивного шума, а также параметров канала. Эти модели наиболее полно отображают реальные каналы связи, однако редко используются в анализе ввиду их сложности.

Переходя к моделям дискретного канала, полезно напомнить, что в нем всегда содержится непрерывный канал, а также модем. Последний можно рассматривать как устройство, преобразующее непрерывный канал в дискретный. Поэтому, в принципе, можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала и модема. Такой подход часто является плодотворным, однако он приводит к довольно сложным моделям.

Рассмотрим простые модели дискретного канала, при построении которых свойства непрерывного канала и модема не учитывались. Следует, однако, помнить, что при проектировании системы связи имеется возможность варьировать в довольно широких пределах модель дискретного канала при заданной модели непрерывного канала путем изменения модема.

Модель дискретного канала содержит задание множества возможных сигналов на его входе и распределение условных вероятностей выходного сигнала при заданном входном. Здесь входным и выходным сигналами являются последовательности кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число различных символов (основание кода), а также длительность передачи каждого символа. Будем считать, что значение одинаково для всех символов, что выполняется в большинстве современных каналов. Величина определяет количество символов, передаваемых в единицу времени. Как указывалось в § 1.5, она называется технической скоростью и измеряется в бодах. Каждый символ, поступивший на вход канала, вызывает появление одного символа на выходе, так что техническая скорость на входе и выходе канала одинакова.

В общем случае для любого должна быть указана вероятность того, что при подаче на вход канала любой заданной последовательности кодовых символов на выходе появится некоторая реализация случайной последовательности Кодовые символы обозначим числами от 0 до что позволит производить над ними арифметические операции. При этом все -последова-тельности (векторы), количество которых равно образуют -мерное конечное векторное пространство, если «сложение» понимать как поразрядное суммирование по модулю и аналогично определить умножение на скаляр (целое число). Для частного случая такое пространство было рассмотрено в § 2.6.

Введем еще одно полезное определение. Будем называть вектором ошибки поразрядную разность (разумеется, по модулю между принятым и переданным векторами. Это значит, что прохождение дискретного сигнала через канал можно рассматривать как сложение входного вектора с вектором ошибки. Вектор ошибки играет в дискретном канале примерно ту же роль, что и помеха в непрерывном канале. Таким образом, для любой модели дискретного канала можно записать, пользуясь сложением в векторном пространстве (поразрядным, по модулю

где случайные последовательности из символов на входе и выходе канала; случайный вектор ошибки, который в общем случае зависит от Различные модели отличаются распределением вероятностей вектора Смысл вектора ошибки особенно прост в случае двоичных каналов , когда его компоненты принимают значения 0 и 1. Всякая единица в векторе ошибок означает, что в соответствующем месте передаваемой последовательности символ принят ошибочно, а всякий нуль означает безошибочный прием символа. Количество ненулевых символов в векторе ошибок называется его весом. Образио говоря модем, осуществляющий переход от непрерывного канала к дискретному, преобразует помехи и искажения непрерывного канала в поток ошибок.

Перечислим наиболее важные и достаточно простые модели дискретных каналов.

Симметричный канал без памяти определяется как дискретный канал, в котором каждый переданный кодовый символ может быть принят ошибочно с фиксированной вероятностью и правильно с вероятностью причем в случае ошибки вместо переданного символа может быть с равной вероятностью принят любой другой символ. Таким образом, вероятность того, что принят символ если был передан равна

Термин «без памяти» означает, что вероятность ошибочного приема символа не зависит от предыстории, т. е. от того, какие символы передавались до него и как они были приняты. В дальнейшем, для сокращения, вместо «вероятность ошибочного приема символа» будем говорить «вероятность ошибки».

Очевидно, что вероятность любого -мерного вектора ошибки в таком канале

где I - количество ненулевых символов в векторе ошибки (вес вектора ошибки). Вероятность того, что произошло I каких угодно ошибок, расположенных как угодно на протяжении последовательности длины определяется формулой Бернулли

где биномиальный коэффициент, равный числу различных сочетаний I ошибок в блоке длиной

Эту модель называют также биномиальным каналом. Она удовлетворительно описывает канал, возникающий при определенном выборе модема, если в непрерывном канале отсутствуют замирания, а аддитивный шум белый (или, по крайней мере, квазибелый). Вероятности переходов в двоичном симметричном канале схематически показаны в виде графа на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале

Рис. 3.4. Переходные вероятности в двоичном симметричном канале со стиранием

Рис. 3.5. Переходные вероятности в двоичном несимметричном канале

Симметричный канал без памяти со стиранием отличается от предыдущего тем, что алфавит на выходе канала содержит дополнительный символ, обозначаемый знаком Этот символ появляется тогда, когда 1-я решающая схема (демодулятор) не может надежно опознать переданный символ. Вероятность такого отказа от решения или стирания символа в данной модели постоянна и не зависит от передаваемого

символа. За счет введения стирания удается значительно снизить вероятность ошибки, иногда ее даже считают равной нулю. На рис. 3.4 схематически показаны вероятности переходов в такой модели.

Несимметричный канал без памяти характеризуется, как и предыдущие модели, тем, что ошибки возникают в нем независимо друг от друга, однако вероятности ошибок зависят от того, какой символ передается. Так, в двоичном несимметричном канале вероятность приема символа «1» при передаче символа «0» не равна вероятности приема «0» при передаче «1» (рис. 3.5). В этой модели вероятность вектора ошибки зависит от того, какая последовательность символов передается.

Марковский канал представляет собой простейшую модель дискретного канала с памятью. В ней вероятность ошибки образует простую цепь Маркова, т. е. зависит от того, правильно или ошибочно принят предыдущий символ, но не зависит от того, какой символ передается.

Такой канал, например, возникает, если в непрерывном канале с гауссовским шумом (с определенной или неопределенной фазой) используется относительная фазовая модуляция (см. ниже, § 4.5).

Канал с аддитивным дискретным шумом является обобщением моделей симметричных каналов. В такой модели вероятность вектора ошибки не зависит от передаваемой последовательности. Вероятность каждого вектора ошибки считается заданной и, вообще говоря, не определяется его весом. Во многих каналах из двух векторов с одинаковым весом более вероятным оказывается такой, в котором единицы расположены близко друг к другу, т. е. имеется тенденция к группированию ошибок.

Частным случаем такого канала является канал с переменным параметром (КПП). В этой модели вероятность ошибки для каждого символа является функцией некоторого параметра представляющего случайную последовательность, дискретную или непрерывную, с известными распределениями вероятностей, в частности с известной корреляционной функцией. Параметр может быть скалярным или векторным. Можно сказать, что определяет состояние канала. Такая модель имеет много разновидностей. Одной из них является модель Гильберта, в которой принимает лишь два значения - а вероятность ошибки при равна нулю, а при равна 0,5. Заданы вероятности переходов из состояния и наоборот. В таком канале все ошибки происходят при и поэтому очень тесно группируются. Существуют и более сложные модели КПП, например модель Попова - Турина. Они изучаются в специальных курсах. Память в КПП определяется интервалом корреляции параметра

Канал с неаддитивным шумом и с памятью. Канал с межсимвольной интерференцией. Вероятность ошибки в нем зависит от передаваемых символов, как и в модели несимметричного канала без памяти, но не от того (или не только от того) символа, для которого определяется вероятность ошибки, а от символов, которые передавались до него.