КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО МАТАНАЛИЗУ

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М , если каждой паре (х,у ) из множества М z из Z .

Определение 1.2. Множество М , в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции , а сами х,у – ее аргументами .

Обозначения: z = f (x , y ), z = z (x , y ).

Примеры.

Замечание. Так как пару чисел (х,у ) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел
, являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z ) называется функцией нескольких независимых переменных
в множествеМ , если каждому набору чисел
из множестваМ по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z . Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f
,z = z
.

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию

z = f (x , y ) , (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху . Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x , y , z ) , где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z = f(x,y)

M y

Замечание . Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n -мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху , для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня .

Пример.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x ² - y ². Их уравнения имеют вид x ² + y ² = 4 – c (c =const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами
. Например, прис =0 получаем окружность x ² + y ² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x , y , z ) уравнение u (x , y , z ) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня .

Пример.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями

3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Предел и непрерывность функции нескольких переменных.

Введем понятие δ-окрестности точки М 0 (х 0 , у 0 ) на плоскости Оху как круга радиуса δ с центром в данной точке. Аналогично можно определить δ-окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса δ с центром в точке М 0 (х 0 , у 0 , z 0 ) . Для n -мерного пространства будем называть δ-окрестностью точки М 0 множество точек М с координатами
, удовлетворяющими условию

где
- координаты точкиМ 0 . Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Определение 1.4. Число А называется пределом функции нескольких переменных f
в точкеМ 0 , если

такое, что | f (M ) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0 .

Обозначения:
.

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М 0 , условно говоря, по любой траектории внутри δ-окрестности точки М 0 . Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов , получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Примеры.

Замечание . Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Определение 1.5. Функция f
называетсянепрерывной в точке М 0
, если
(1.2)

Если ввести обозначения

То условие (1.2) можно переписать в форме

(1.3)

Определение 1.6. Внутренняя точка М 0 области определения функции z = f (M ) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняются условия (1.2), (1.3).

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва .

∙ проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости.

Пример построения прямой на плоскости (Рис. 3.12):
Рис. 3.12 Задача: построить на плоскости АВС прямую, заданную
		фронтальной проекцией

3.4 Главные линии плоскости

Для решения многих задач начертательной геометрии используют линии частного положения – линии уровня .

Линии уровня , это линии на плоскости, параллельные ПП. Линия, параллельная горизонтальной ПП –горизонтал ь, Фронтальной –фронталь , Профильной ПП –профильная лин ия.

Так как линии уровня параллельны своим плоскостям проекций, на других ПП их проекции будут параллельны осям координат. Например, фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х 12 .

Примеры построения линий уровня: ∙ Горизонталь h (Рис. 3.13);

h 11 1

Рис. 3.13 Горизонталь на плоскости

Если плоскость задана следами, линии уровня h иf будут параллельны следам на своих плоскостях проекции: горизонтали горизонтальным следам, фронтали фронтальным следам и т.д. (Рис. 3.14). По сути, след плоскости является линией уровня, бесконечно близкой плоскости проекции.

			f 1≡ h 2

Рис. 3.14 Линии уровня плоскости, заданной следами

3.5 Точка на плоскости

Точка лежит на плоскости, если она принадлежит любой прямой на этой плоскости. Таким образом, для построения точи на плоскости необходимо сначала построить вспомогательную прямую на плоскости такую, чтобы она проходила через заданную проекцию искомой точки и, затем, найти точку на построенной вспомогательной линии вдоль линии связи.

Примеры построения точки на плоскости (Рис. 3.15):

		D1 - ?
	D1 - ?

Рис. 3.15 Точка на плоскости

Построение точки на плоскости, заданной следами.

Если плоскость задан следами, в качестве линий, принадлежащих плоскости, с помощью которых проверяется принадлежность точки плоскости, используются линии уровня, которые легко строить, проводя параллельно заданным следам (Рис. 3.16). При этом следует помнить, что проекция точки, принадлежащей следу плоскости, на другой плоскости проекций окажется на оси, разделяющей плоскости проекций (см. (.)1 ).

				f 1≡ h 2

Рис. 3.16 Использование линий уровня для построения очки на плоскости, заданной следами

Тема 4 Взаимное положение геометрических фигур: прямая и плоскость, две плоскости.

Прямая и плоскость, а также две плоскости могут быть:

∙ параллельны друг другу,

∙ пересекаться,

∙ перпендикулярны друг другу.

4.1 Параллельные фигуры

4.1.1 Прямая, параллельная плоскости

Пример 1 (Рис. 4.1). Есть плоскость Σ(a Ç b).

Задана (.)A и фронтальная проекцияl 2 прямой. Провести через(.)A прямую, параллельную плоскостиΣ

A 2l 2

Рис. 4.1 Построение прямой, параллельной плоскости

Пример 2. Через (.)А провести горизонталь, параллельную плоскости

Σ(ABC) (Рис. 4.2).

Рис. 4.2 Горизонталь, параллельная плоскости

4.1.2 Взаимно параллельные плоскости

Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (Рис. 4.3).

				a // d
							ý Þ a // d
				a 2// d 2þ
				b // c				Þ b// c
				b 2// c 2þ
				пл .Q (a Ç b ) //пл .D (с //в )

Рис. 4.3 Взаимно параллельные плоскости

В качестве пересекающихся линий могут быть выбраны линии
частного положения. Отсюда:
Если одноименные следы двух плоскостей параллельны. То
параллельны сами плоскости.
				пл .S (f Ç h ) //пл .T (f "Ç h ")
			h ′
Рис. 4.4 Параллельные плоскости,
	заданные следами
Пример 4.3: Через (.)А провести плоскостьΘ параллельно плоскости
Γ , заданной двумя параллельными прямыми (Рис. 4.5).
	Рис. 4.5 Параллельные плоскости

Техника построения:

1. На плоскости Г, используя прямуюа выбирается произвольная вспомогательная точка1 .

2. Через (.) 1 проводятся две произвольные прямыеl иk так, чтобы они пересекли другую прямую, задающую плоскость – линиюb .

3. Через заданную точку А проводят две прямыеm иn , параллельные соответственно вспомогательным прямымl иk . Эти две

пересекающиеся прямые l иk зададут искомую плоскостьQ , параллельную заданной плоскостиГ .

Пример 4.4: Через (.)А провести

плоскость

параллельно

фронтально-проектирующей плоскостиΣ (m ||n ) (Рис. 4.6).

≡ l 2

Рис. 4.6 Параллельные плоскости

Техника построения:

1. На фронтальной ПП через фронтальную проекцию А 2 заданной точкиА проводится прямаяА 2 С 2 ||m 2 ≡ n 2 . Эта прямая будет фронтальным следом искомой плоскостиD . Плоскость, параллельная фронтально-проектирующей плоскости должна быть сама фронтально-проектирующей плоскостью!

2. На горизонтальной ПП выбираются произвольно две точки В 1 и

С1 .

3. Фронтальные проекции В 2 иС 2 точекВ иС ищутся вдоль линий связи на построенном следе искомой плоскостиD .

NB ! Несмотря на то, что точкиВ иС были выбраны на горизонтальной ПП произвольно, плоскость, задаваемая точкамиАВС будет параллельной заданной фронтально-проектирующей плоскости потому, что на фронтальной ПП точкиАВС располагаются на одной линии, параллельной фронтальному следу заданной плоскостиΣ .

4.2 Пересечение прямой и плоскости. Точка пересечения

Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти (.)K пересечения прямой общего положенияl и горизонтальнопроектирующей плоскостиΣ .

Пример 4.9: Построить точку пересечения прямой l c горизонтальнопроектирующей плоскостьюΣ (Рис. 4.7):

	å ^ П 1

Рис. 4.7 Пересечение прямой с проектирующей плоскостью

Построение весьма простое. Так как проектирующая плоскость Σ обладает собирательным свойством, точка ее пересечения с линиейl

находится как точка пересечения горизонтального следа Σ 1 плоскости и горизонтальной проекцииl 1 линии. Фронтальная проекция точки пересечение найдена вдоль линии связи.

Для построения точки пересечения произвольной прямой с плоскостью общего положения в качестве вспомогательного элемента следует использовать вспомогательные проектирующие плоскости.

Пример 4.10: Построить точку пересечения прямой m с плоскостью

(a Ç b) (Рис. 4.8).

å ^ П 2 ; å º m

å Ç D(aÇb) => l

l1 11

Рис. 4.8 Пересечения прямой с плоскостью

Для построения использована вспомогательная фронтальнопроектирующая плоскость Σ , проходящая через линиюm .

Линия l пересечения плоскостейΣ Ç лежит в одной плоскости с прямойm , так как вспомогательная плоскость специально была проведена через прямуюm . Следовательно, находясь в одной плоскости, прямыеl иm , если они пересекутся, дадут точку, которая будет искомой точкой пересечения заданных прямойm и плоскости

Если прямые l иm окажутся параллельными, это будет означать, что заданные прямаяm и плоскость – параллельны.

	Пересечение двух плоскостей.
Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно
найти две любые точки этой линии, либо одну точку и направление
линии пересечения.
Если ищется линия пересечения двух плоскостей, одна из которых
проектирующая, линия пересечения определяется простейшими
построениями.
Пример 4.5: Построить линию пересечения плоскости				Заданной
двумя прямыми l ||m и горизонтальной плоскостью уровняΣ (Рис.
			S 2≡ S 2
	Рис. 4.9 Пересечение плоскостей

NB ! Линия пересечения принадлежит горизонтальной плоскости уровняΣ , поэтому является горизонталью.

Простота построения линии пересечения плоскостей общего положения с плоскостями частного положения дает удобный инструмент построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Рис. 4.10 Вспомогательные секущие плоскости

Таким инструментом являются вспомогательные секущие плоскости частного положения, например, плоскости уровня (Рис. 4.10).

Для построения линии пересечения плоскостей Φ иΘ использованы две горизонтальные плоскостиГ" иГ"" . Точки пересеченияM иN

пар линий a"

S "X lX m

Рис. 4.11 Построение линии пересечения плоскостей

Для построения использованы горизонтальные плоскости Σ" иΣ"".

Пример 4.7: Построить линию пересечения плоскости Φ(ABC) 6

5 1X 6 1

Рис. 4.12 Построение линии пересечения плоскостей

Для построения используются вспомогательные фронтально проектирующие плоскости " и"" , которые на фронтальной ПП проходят по фронтальным проекциям параллельных прямыхl иm , задающих плоскостьТ . Вспомогательная плоскость" пересекает заданную плоскостьΦ(ABC) по линии12 . Горизонтальная проекция этой прямой пересекает горизонтальную проекцию прямойl в точкеЕ 1 . Эта точка ищется на фронтальной ПП вдоль линии связи. ТочкаЕ является общей для плоскостиΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Таким образом, эта точка является одной из точек линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Также найдена точкаF пересечения плоскости"" с прямойm . ТочкаF также является точкой линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Соединение полученных точекЕ и

h"1 M 1 h 1

Рис. 4.13 Построение линии пересечения плоскостей

Точки линии пересечения, это (.)M пересечения горизонтальных следовh иh" заданных плоскостей и (.)N пересечения фронтальных следовf иf" . Соединение этих точек на соответствующих плоскостях проекций дает проекции линии пересечения заданных плоскостей.

Определение . Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х х , х 2 ,..., х п ) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной вели­чины z . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (х х , х 2 ,..., х п ) .

Переменные х х , х 2 ,..., х п называются независимыми переменными или аргументами, z - зависимой переменной, а символ f означа­ет закон соответствия. Множество X называется областью оп­ределения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у) . Тогда ее область определения X есть подмножество ко­ординатной плоскости Оху .

Окрестностью точки
называется круг, содержа­щий точку
(см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математи­ческий аппарат: любой функции z = f (x , у) можно по­ставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х=х 0 функцию z =
и при фиксированном значении у=у 0 функцию z = f (x , у 0 ).

Графиком функции двух переменных z =
называется множе­ство точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z кото­рых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соот­ношением z =
.

Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассмат­ривать функции одной переменной z = f (x , у 0 ) и z =
, пред­ставляющие сечения графика z = f (x , у) плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям Oxz и Oyz , т.е. плоскостями у= у 0 и х=х 0 .

Пример 1. Построить график функции
.

Решение. Сечения поверхности
=
плоскостями, параллельными координатным плос­костямOyz и Oxz , пред­ставляют параболы (на­пример, при х = 0
, при у = 1
и т.д.). В се­чении поверхности кординатной плоско­стьюОху , т.е. плоско­стью z=0 , получается окружность
График функции представляет поверх­ность, называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

Определение . Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствую­щие значениям С=1 и С=2. Как видно, линия уровня состо­ит из двух непересекающихся кривых. Линия– самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, паралле­ли и меридианы на глобусе - это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображе­нием изотерм - линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции
.

Решение. Линия уровня z = C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х 2 + у 2 - 2у = С или х 2 + (у - I) 2 = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом
(рис. 4).

Точка (0; 1) - это вырожденная линия уровня, соответст­вующая минимальному значению функции z =-1 и достигаю­щемуся в точке (0; 1). Линии уровня - концентрические ок­ружности, радиус которых увеличивается с ростом z = C , при­чем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня по­зволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у - приращение ∆у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆ z = f (x +∆ x , y +∆ y )- f { x , у) называется полным приращени­ем функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргу­мента x или только приращение аргумента у, то полученные при­ращения функции соответственно иназываютсячастными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.

Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z = xy .

Решение. ;;.

Получили, что

Определение. Частной производной функции несколь­ких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответст­вующего частного приращения функции к приращению рас­сматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так:
или
, или
.

Для нахождения производной
надо считать постоянной переменную у, а для нахождения
-переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирова­ния.

Пример. Найти частные производные функции:

a) z = x ln y + .

Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом,
. Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т.е
.

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется сумма про­изведений частных производных этой функции на приращения соот­ветствующих независимых переменных, т.е.

dz =
. (1)

Учитывая, что для функций f(х, у)=х, g (x , у)=у согласно (1) df = dx =∆ x ; dg = dy =∆ y формулу дифференциала (1) можно запи­сать в виде dz = z " x dx + z " y dy (2) или

Определение. Функция z = f (x , у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде (3), где dz - дифференциал функции, – ,бесконечно малые при
.

Достаточное условие дифферен­цируемости функции двух переменных.

Теорема. Если частные производные функции z " v (x , у) существу­ют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z = f { x , у) дифференцируема в этой точке.

Если каждой точке X = (х 1 , х 2 , …х n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х 1 , х 2 , …х n) = f (X).

При этом переменные х 1 , х 2 , …х n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной , а символ f обозначает закон соответствия . Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).

Например, функция z = 1/(х 1 х 2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х 1 и х 2 , а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х 1 = 0 и х 2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х 1 = 2, х 2 = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).

Функция вида z = а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + а n х n + b, где а 1 , а 2 ,…, а n , b - по стоянные числа, называют линейной . Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х 1 , х 2 , …х n . Все остальные функции называют нелинейными .

Например, функция z = 1/(х 1 х 2) – нелинейная, а функция z =
= х 1 + 7х 2 - 5 – линейная.

Любой функции z = f (X) = f(х 1 , х 2 , …х n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.

Например, функции трех переменных z = 1/(х 1 х 2 х 3) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х 2 = а и х 3 = b то функция примет вид z = 1/(аbх 1); если зафиксировать х 1 = а и х 3 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 2); если зафиксировать х 1 = а и х 2 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 3). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х 2 = а, то она примет вид z = 5х 1 а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х 1 = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.

Графиком функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).

Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).

Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью ), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).

Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве

Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем .

Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).

Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня .

Например, рассмотрим z = 1/(х 1 х 2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х 1 х 2) = 10. Тогда х 2 = 1/(10х 1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х 2 = 1/(5х 1) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).

Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2)

Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х 1 + х 2 . Возьмем С = 2, т.е. 2х 1 + х 2 = 2. Тогда х 2 = 2 - 2х 1 , т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х 2 = 4 - 2х 1 (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х 1 + х 2 = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.

Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.

Рисунок 5.5 - Линии уровня функции z = 2х 1 + х 2

Определение функции нескольких переменных

Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явления приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.

Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у , выражается формулой S = ху . Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S ; S есть функция двух переменных.

Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х , у , z , выражается формулой V = xyz . Здесь V есть функция трех переменных х , у , z .

Пример 3. Дальность R полета снаряды, выпущенного с начальной скоростью v 0 из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом , выражается формулой
(если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесьg – ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений v 0 и  эта формула дает определенное значение R , т.е. R является функцией двух переменных v 0 и .

Пример 4.
. Здесьи есть функция четырех переменных х , у , z , t .

Определение 1. Если каждой паре (х , у ) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D , соответствует определенное значение величины z , то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных х и у , определенная в области D .

Символически функция двух переменных обозначается так:

z = f (x , y ), z = F (x , y ) и т.д.

Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически – с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для первого примера можно составить следующую таблицу:

S = ху

В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у , проставлено соответствующее значение функции S . Если функциональная зависимость z = f (x , y ) получается в результате измерений величины z при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая z как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.

Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х и у .

Определение 2. Совокупность пар (х , у ) значений х и у , при которых определяется функция z = f (x , y ), называется областью определения или областью существования этой функции.

Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой М (х , у ) в плоскости Оху , то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости , ограниченные линиями . Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой . Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой . Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С , что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С , т.е. |OM | < С .

Пример 5. Определить естественную область определения функции

z = 2х – у .

Аналитическое выражение 2х – у имеет смысл при любых значениях х и у . Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху .

Пример 6.
.

Для того чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х и у должны удовлетворять неравенству 1 – х 2 – у 2  0, или х 2 + у 2  1.

Все точки М (х , у ), координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.

Пример 7.
.

Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство х + у > 0, или у >  х .

Это значит, что областью определения функции z является половина плоскости, расположенная над прямой у =  х , не включая самой прямой.

Пример 8. Площадь треугольника S представляет собой функцию основания х и высоты у : S = xy /2.

Областью определения этой функции является область х  0, у  0 (так как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательны, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ху/ 2 является, очевидно, вся плоскость Оху .

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.

Определение 3. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х , у , z , …, u , t соответствует определенное значение переменной w , то будем называть w функцией независимых переменных х , у , z , …, u , t и писать w = F (х , у , z , …, u , t ) или w = f (х , у , z , …, u , t ) и т.п.

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных.

Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (х , у , z ). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку М (х , у , z ) в пространстве Оху z . Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства.

Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных u = f (x , y , z , t ) как о некоторой совокупности четверок чисел (x , y , z , t ). Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.

В примере 2 приведена функция трех переменных, определенная при всех значениях х , у , z .

В примере 4 приведена функция четырех переменных.

Пример 9. .

Здесь w – функция четырех переменных х , у , z , и , определенная при значениях переменных, удовлетворяющих соотношению:

Понятие функции нескольких переменных

Введем понятие функции нескольких переменных.

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {М } евклидова пространства E m по какому-либо закону ста­вится в соответствие некоторое число и из числового множес­тва U. Тогда будем говорить, что на множестве {М } задана функция и = f(M). При этом множества {М } и U называют­ся соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M).

Как известно, функция одной переменной у = f (x ) изобра­жается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения {М п } функции z = f(x, y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху (рис. 8.1). Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E 3 . Аналогичным образом функция от т пере­менных

определенная на множестве {М } евклидова пространства Е m , представляет собой гиперповерхность в евклидовом простран­стве Е m+1 .

Некоторые виды функций нескольких переменных

Рассмотрим примеры функций нескольких переменных и найдем их области определения.

Е 3 . Областью определения этой функции является все множест­во точек плоскости Оху. Область значений этой функции - промежуток }