Задача о назначениях (венгерский метод) х. Венгерский алгоритм, или о том, как математика помогает в распределении назначений

При обсуждении постановки задачи о назначениях было отмечено, что эта задача является частным случаем классической транспортной задачи и, как следствие, является задачей транспортного типа. Применительно к задаче о назначениях симплексный метод не эффективен, так как любое ее допустимое базисное решение является вырожденным. Специфические особенности задачи о назначениях позволили разработать эффективный метод ее решения, известный как венгерский метод.

Частным случаем транспортной задачи является задача о назначениях, в которой число пунктов производства равно числу пунктов назначения, т.е. транспортная таблица имеет форму квадрата. Кроме того, в каждом пункте назначения объем потребности равен 1, и величина предложения каждого пункта производства равна 1. Любая задача о назначениях 2может быть решена с использованием методов линейного программирования или алгоритма решения транспортной задачи. Однако ввиду особой структуры данной задачи был разработан специальный алгоритм, получивший название Венгерского метода.

Венгерский метод является одним из интереснейших и наиболее распространенных методов решения транспортных задач.

Рассмотрим основные идеи венгерского метода на примере решения задачи выбора (задачи о назначениях), которая является частным случаем Т-задачи, а затем обобщим этот метод для произвольной Т-задачи.

Постановка задачи. Предположим, что имеется различных работ и механизмов, каждый из которых может выполнять любую работу, но с неодинаковой эффективностью. Производительность механизма при выполнении работы обозначим, и = 1,...,n; j = 1,...,n. Требуется так распределить механизмы по работам, чтобы суммарный эффект от их использования был максимален. Такая задача называется задачей выбора или задачей о назначениях.

Формально она записывается так. Необходимо выбрать такую последовательность элементов из матрицы

чтобы сумма была максимальна и при этом из каждой строки и столбца С был выбран только один элемент.

Введем следующие понятия.

Нулевые элементы матрицы С называются независимыми нулями, если для любого строка и столбец, на пересечении которых расположен элемент, не содержат другие такие элементы.

Две прямоугольные матрицы С и D называются эквивалентными (C ~ D), если для всех i,j . Задачи о назначениях, определяемые эквивалентными матрицами, являются эквивалентными (т.е. оптимальные решения одной из них будут оптимальными и для второй, и наоборот).

Рассмотрим следующий пример. Пусть для выполнения пяти различных работ имеется пять человек. Из отчетных данных известно, какое время требуется каждому из них для выполнения каждой работы. Эти данные приведены в таблице.

В данном случае величины представляют собой затраты времени каждого работника на выполнение каждой из работ, а величины равны либо 1, либо 0, причем равен 1, если работник i назначен на работу j, и 0 во всех остальных случаях. Таким образом задача сводится к минимизации функции. стоимость маршрут линейный программирование

при следующих ограничениях.

Ясно, что если отбросить последнее условие и заменить его условием

То получается транспортная задача, в которой все потребности и все ресурсы равны единице. В оптимальном решении все равны либо целому числу, либо нулю, причем единственным возможным целым является единица. Таким образом, решение транспортной задачи при этих условиях всегда приводит к равенству.

Однако вследствие вырожденности методы решения транспортных задач в случае задачи о назначении оказываются малоэффективными. При любом назначении всегда автоматически совпадают поставки по строке со спросом по столбцу и поэтому вместо 2n-1 получаем n ненулывых значений. В связи с этим необходимо заполнить матрицу n-1 величинами е, и может оказаться, что ненулевые значения определяют оптимальное решение, однако проверка его не обнаруживает, так как величины е расставлены неверно.

Метод решения задачи о назначении основан на двух довольно очевидных теоремах. Первая из них утверждает, что решение не изменится, если прибавить к любому столбцу или строке матрицы некоторую константу или вычесть ее из них. Эта теорема точно формулируется следующим образом:

Теорема 1.

Если минимизирует

по всем, таким что и

то минимизирует также функционал

где при всех

Теорема 2.

Если все и можно отыскать набор такой, что

то это решение оптимально.

Вторая теорема очевидна. Для доказательства первой теоремы заметим, что

Вследствие того что величины, вычитаемые из Z с целью получения, не зависят от, достигает минимума всегда, когда минимизируется Z, и наоборот.

Разработанный метод решения сводится к прибавлению констант к строкам и столбцам и вычитанию их из строк и столбцов до тех пор, пока достаточное число величин не обращается в нуль, что дает решение, равное нулю.

Отыскание решения начинают, вычитая наименьший элемент из каждой строки, а затем из каждого столбца. В таблице даны результаты для приведенного выше примера.

Таблица А)

Таблица Б)

Из столбцов и строк было вычтено всего 10 единиц. Поэтому для правильной оценки любого решения, получаемого при использовании таблицы (Б), необходимо прибавить к результату 10 единиц

Прежде всего стремятся отыскать решение, включающее лишь те клетки таблицы (Б),в которых стоят нулевые элементы, поскольку такое решение, если его удается найти, будет наилучшим из всех возможных. Однако встречаются случаи, когда несколько решений имеют одинаковое качество. Допустимое решение помечено в таблице (Б) скобками. Однако, для того чтобы определить, возможно ли улучшение решения, применяется следующий алгоритм.

Заметим предварительно, что любое дальнейшее вычитание из строки или столбца, хотя и может приводить к появлению новых нулей, неизбежно приводит в появлению отрицательных элементов, так что нулевое решение теперь не обязательно будет оптимальным. Однако отрицательные элементы можно исключить, прибавляя соответствующие числа к строкам или столбцам. Так например, если вычесть 2 из столбца 1 в таблице (Б), то в строке 1 появится элемент - 2. Если теперь прибавить 2 к строке 1, то вновь получим матрицу с неотрицательными элементами. Задача заключается в том, чтобы получать новые нули указанным способом, но вместе с тем в конечном счете получить матрицу, содержащую решение среди одних нулей. Можно доказать, что описываемый ниже алгоритм обеспечивает решение этой задачи.

1. Провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули. Выполнение этого шага для таблицы (Б) дает результат в таблице 1.

Таблица 1

Заметим, что в данном случае используется только четыре линии, а следовательно, нулевые клетки не содержат оптимального решения.

• 2. Выбрать наименьший элемент, через который не проведена линия. В примере это 1 в клетке (5,2).
• 3. Вычесть это число из всех элементов, через которые не проведена ни одна линия, и прибавить его ко всем элементам, через которые проведены две линии. В данном примере получается результат, показанный в таблице 2.

Таблица 2

Этот шаг должен приводить к появлению нуля в клетке, где его ранее не было. В рассматриваемом примере это клетка (5,2).

4. Определить, имеется ли решение среди нового набора нулей. Если решение не обнаруживается (в данном примере оно отсутствует), то вернуться к шагу 1 и выполнить все последующие шаги, пока не будет найдено решение. продолжая рассматривать данный пример, получаем результат, приведенный в таблице 3.

Таблица 3

В этой таблице уже содержится решение, помеченное скобками и имеющее значение 13, что на 1 лучше исходного допустимого решения. , .

Пример 2.

Представлено четыре студента и четыре вида работ. Следующая таблица соответствует матрице стоимостей для этой задачи.

Выполним первый шаг алгоритма.

Теперь вычтем минимальные стоимости из элементов соответствующих строк.

На втором шаге алгоритма находим минимальные значения по столбцам и вычитаем их из элементов соответствующих столбцов. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

В последней матрице расположение нулевых элементов не позволяет назначить каждому ребенку одну работу. Например, если мы назначим Даше уборку гаража, из дальнейшего рассмотрения исключается первый столбец и тогда, в строке Аллы не окажется нулевых элементов.

• 1) В последней матрице проведем минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых по строкам и столбцам с тем, чтобы вычеркнуть все нулевые элементы.
• 2) Найдем наименьший невычеркнутый элемент и вычтем его из остальных невычеркнутых элементов и прибавим к элементам, стоящим на пересечении проведенных прямых.

В задаче данного примера требуется провести три прямых, это приводит к следующей таблице:

Наименьший невычеркнутый элемент равен 1. Этот элемент вычитаем из остальных невычеркнутых элементов и прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых. В результате получим матрицу, представленную в следующей таблице.

Оптимальное решение, показанное в таблице, предлагает Даше убрать гараж, Кате стричь газоны, Алле мыть машины, а Саше выгуливать собак. Соответствующее значение целевой функции равно 1+10+5+5=21. Такое же значение можно получить путем суммирования значений и и значения элемента, наименьшего среди всех невычеркнутых.

Алгоритм решения:

1. Решаемзадачу на минимум. Цель данного шага - получение максимально возможного числа нулей в матрице С. Для этого находим в матрице С в каждой строке минимальный элемент и вычитаем его из каждого элемента соответствующей строки. Аналогично в каждом столбце вычитаем соответствующий минимальный элемент.

Если задана не квадратная матрица, то делаем её квадратной, проставляя стоимости равными максимальному числу в заданной матрице.

2. Если после выполнения первого шага можно произвести назначения, то есть в каждой строке и столбце выбрать нулевой элемент, то полученное решение будет оптимальным. Если назначения провести не удалось, то переходим к третьему шагу.

3. Минимальным числом прямых вычёркиваем все нули в матрице и среди не вычеркнутых элементов выбираем минимальный, его прибавляем к элементам, стоящим на пересечении прямых и отнимаем от всех не вычеркнутых элементов. Далее переходим к шагу 2.

Венгерский метод наиболее эффективен при решении транспортных задач с целочисленными объемами производства и потребления.

Пример

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, в которой ai = bj = 1. Поэтому ее можно решать алгоритмами транспортной задачи. Рассмотрим другой метод, который является более эффективным, учитывающим специфику математической модели. Этот метод называется венгерским алгоритмом.

Он состоит из следующих шагов:

1) преобразования строк и столбцов матрицы ;

2) определение назначения;

3) модификация преобразованной матрицы.

1-й шаг . Цель данного шага — получение максимально возможного числа нулевых элементов в матрице С. Для этого из всех элементов каждой строки вычитаем минимальный элемент соответствующей строки, а из всех элементов каждого столбца вычитаем минимальный элемент соответствующего столбца.

2-й шаг. Если после выполнения 1-го шага в каждой строке и каждом столбце матрицы С можно выбрать по одному нулевому элементу, то полученное решение будет оптимальным назначением.

3-й шаг . Если допустимое решение, состоящее из нулей, не найдено, то проводим минимальное число прямых через некоторые столбцы и строки так, чтобы все нули оказались вычеркнутыми. Выбираем наименьший невычеркнутый элемент. Этот элемент вычитаем из каждого невычеркнутого элемента и прибавляем к каждому элементу, стоящему на пересечении проведенных прямых.

Если после проведения 3-го шага оптимальное решение не достигнуто, то процедуру проведения прямых следует повторять до тех пор, пока не будет получено допустимое решение.

Пример .

Распределить ресурсы по объектам.

Решение. 1-й шаг. Значения минимальных элементов строк 1, 2, 3 и 4 равны 2, 4, 11 и 4 соответственно. Вычитая из элементов каждой строки соответствующее минимальное значение, получим

Значения минимальных элементов столбцов 1, 2, 3 и 4 равны 0, 0, 5, 0 соответственно. Вычитая из элементов каждого столбца соответствующее минимальное значение, получим

2-й шаг. Ни одно полное назначение не получено, необходимо провести модификацию матрицы стоимостей.

3-й шаг. Вычеркиваем столбец 1, строку 3, строку 2 (или столбец 2). Значение минимального невычеркнутого элемента равно 2:

Вычитаем его из всех невычеркнутых элементов и, складывая его со всеми элементами, расположенными на пересечении двух линий, получим

Ответ. Первый ресурс направляем на 3-й объект, второй — на 2-й объект, четвертый — на 1-й объект, третий ресурс — на 4-й объект. Стоимость назначения: 9 + 4 + 11 + 4 = 28.

Примечания. 1. Если исходная матрица не является квадратной, то нужно ввести фиктивные ресурсы или фиктивные объекты, чтобы матрица стала квадратной.

Методы принятия управленческих решений

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О НАЗНАЧЕНИЯХ

Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом: имеется n исполнителей и n работ, задана - эффективность выполнения каждой работы каждым исполнителем (таблица, в которой содержатсяn 2 чисел, характеризующих эффективность, называется n xn - или n 2 -матрицей). Задача заключается в том, чтобы назначить каждому исполнителю одну и только одну работу таким образом, чтобы оптимизировать заданную функцию эффективности. Математическая модель выглядит следующим образом:

Алгоритм решения задачи о назначениях

(венгерский метод)

, (
, что
.

Шаг 1 . Получение нулей в каждой строке

Выберем в каждой строке минимальный элемент и запишем его значение в правом столбце. Вычтем минимальные элементы из соответствующих строк. Переход к шагу 2.

Шаг 2. Получение нулей в каждом столбце.

В преобразованной таблице найдем минимальные значения в каждом столбце (графе) и запишем их в нижней строке. Вычтем минимальные элементы из соответствующих столбцов. Переход к шагу 3.

Шаг 3 . Поиск оптимального решения

Сделаем назначения. Для этого просматривают строку, содержащую наименьшее число нулей. Отмечают один из нулей этой строки и зачеркивают все остальные нули этой строки и того столбца, в котором находится отмеченный нуль. Аналогичные операции последовательно проводят для всех строк. Если назначение, которое получено при всех отмеченных нулях, является полным (число отмеченных нулей равно n ), то решение является оптимальным. В противном случае переходят к шагу 4.

Шаг 4. Поиск минимального набора строк и столбцов, содержащих все нули.

Для этого необходимо отметить:

Все строки, в которых не имеется ни одного отмеченного нуля;

Все столбцы, содержащие перечеркнутый нуль хотя бы в одной из отмеченных строк;

Все строки, содержащие отмеченные нули хотя бы в одном из отмеченных столбцов.

Действия 2) и 3) повторяются поочередно до тех пор, пока есть что отмечать. После этого необходимо зачеркнуть каждую непомеченную строку и каждый помеченный столбец.

Цель этого шага – провести минимальное число горизонтальных и вертикальных прямых, пересекающих по крайней мере один раз все нули.

Шаг 5 . Перестановка некоторых нулей.

Взять наименьшее число из тех клеток, через которые не проведены прямые. Вычесть его из каждого числа, стоящего в невычеркнутых столбцах и прибавить к каждому числу, стоящему в вычеркнутых строках. Эта операция не изменяет оптимального решения, после чего весь цикл расчета повторить, начиная с шага 3.

ПРИМЕР

В венгерском методе используется следующий принцип: оптимальность решения задачи о назначениях не нарушается при уменьшении (увеличении) элементов строки (столбца) на одну и ту же величину.

Решение считается оптимальным , если все измененные таким образом затраты
, (
) и можно отыскать такой набор, что
.

Выберем в каждой строке минимальный элемент и запишем его значение в правом столбце.

Вычтем минимальные элементы из соответствующих строк, перейдем к новой таблице, в которой найдем минимальные значения в каждом столбце (графе) и запишем их в нижней строке.

Вычтем минимальные элементы из соответствующих столбцов.

Сделаем назначения

Число отмеченных (желтым цветом) нулей равно 3, т.е. назначение не является полным (3<4).

Найдем минимальный набор строк и столбцов, содержащий все нули.

В оставшихся клетках минимальный элемент равен 2.

Вычтем минимальный элемент равный 2 из каждого числа (каждой клетки) невычеркнутых (1,2,4) столбцов. Получим таблицу.

Прибавим минимальный элемент равный 2 к каждому числу вычеркнутых строк в преобразованной таблице. Получим таблицу.

Вновь сделаем назначение, отметив по порядку нули в таблице.

Это назначение является полным, так как число отмеченных (желтым цветом) нулей равно 4.

Время выполнения всех (четырех) проектов:

Т =3х1+4х1+2х1+8х1=17.

Данное назначение не единственное. Если во второй строке сначала отметить не второй, а четвертый нуль, получим следующее назначение.

Время на выполнение всех проектов не изменилось:

Т =3х1+5х1+2х1+7х1=17.

Таким образом, получены два оптимальных назначения, которым соответствует минимальное время выполнения проектов равное 17 месяцам.