Вариации оценок параметров будут, в конечном счете, определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров E n , являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:

В общем виде многомерная линейная регрессионная модель зависимости y от объясняющих переменных,…, имеет вид:

Для оценки неизвестных параметров взята случайная выборка объема n из (k+1)-мерной случайной величины (y,…,).

В матричной форме модель имеет вид:

  • - вектор-столбец фактических значений зависимой переменной размерности n;
  • - матрица значений объясняющих переменных размерности n*(k+1);
  • - вектор-столбец неизвестных параметров, подлежащих оценке, размерности (k+1);
  • - вектор-столбец случайных ошибок размерности n с математическим ожиданием ME=0 и ковариационной матрицей соответственно, при этом

Единичная матрица размерности (nxn).

Оценки неизвестных параметров находятся методом наименьших квадратов, минимизируя скалярную сумму квадратов по компонентам вектора в.

получаем скалярную сумму квадратов

Условием обращения полученной суммы в минимум является система нормальных уравнений:

, (j=0,1,2,…,k).

В результате дифференцирования получается:

При замене вектора неизвестных параметров в на оценки, полученные методом наименьших квадратов, получаем следующее выражение :

Полученные оценки вектора b являются не смещенными и эффективными.

Ковариационная матрица вектора b имеет вид:

где - остаточная дисперсия.

Ковариационная матрица может быть любого размера. Пусть - числа, ошибками которых являются. Вычислим дисперсии и ковариации

Из них также можно построить ковариационную матрицу

Эта матрица обладает свойством симметрии где “Т” - знак транспонирования - замена строк матрицы столбцами или наоборот.

Элементы главной диагонали этой матрицы представляют собой дисперсии вектора оценок b. Остальные элементы являются значениями коэффициентов ковариации:

Таким образом, оценка - это линейная функция от зависимой переменной. Она имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией.

Несмещенная оценка остаточной дисперсии определяется по формуле:

где n - объем выборочной совокупности;

k - число объясняющих переменных.

Для проверки значимости уравнения регрессии используют F-критерий дисперсионного анализа, основанного на разложении общей суммы квадратов отклонений на составляющие части:

где - сумма квадратов отклонений (от нуля), обусловленная регрессией;

Сумма квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных, т.е. сумма квадратов отклонений относительно плоскости регрессии, обусловленное воздействием случайных и неучтенных в модели факторов.

Для проверки гипотезы используется величина

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и. Если, то уравнение регрессии значимо, т.е. в уравнении есть хотя бы один коэффициент регрессии, отличный от нуля.

В случае значимости уравнения регрессии проверяется значимость отдельных коэффициентов регрессии. Для проверки нулевой гипотезы используется величина

которая имеет F-распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы и; - соответствующий элемент главной диагонали ковариационной матрицы.

Коэффициент регрессии считается значимым, если. Для значимых коэффициентов регрессии можно построить доверительные интервалы, используя формулу

где находится по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы.

В многошаговом регрессионном анализе наиболее известны три подхода:

  • 1. Метод случайного поиска с адаптацией. Осуществляется путем построения нескольких уравнений регрессии на основе формально разработанного принципа включения факторов и последующего выбора лучшего уравнения с точки зрения определенного критерия.
  • 2. Метод включения переменных, основанный на построении уравнения регрессии по одному значимому фактору и последовательном добавлении всех остальных статистически значимых переменных путем расчета частных коэффициентов корреляции и F-критерия при проверке значимости вводимого в модель фактора
  • 3. Метод отсева факторов по t-критерию. Данный метод заключается в построении уравнений регрессии по максимально возможному количеству объясняющих переменных и последующем исключении статистически не существенных факторов.

Компонент вектора, а внедиагональные элементы - ковариации между компонентами.

Ковариационная матрица случайного вектора является многомерным аналогом дисперсии случайной величины для случайных векторов. Матрица ковариаций двух случайных векторов- многомерный аналог ковариации между двумя случайными величинами.

В случае нормально распределенного случайного вектора, ковариационная матрица вместе с математическим ожиданием этого вектора полностью определяют его распределение (по аналогии с тем, что математическое ожидание и дисперсия нормально распределенной случайной величины полностью определяют её распределение)

Определения

  • Пусть texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{X}:\Omega \to \mathbb{R}^n , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{Y}:\Omega \to \mathbb{R}^m - два случайных вектора размерности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): m соответственно. Пусть также случайные величины Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i,Y_j,\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m имеют конечный второй момент , то есть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X_i,Y_j \in L^2 . Тогда матрицей ковариации векторов Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{X},\mathbf{Y} называется
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Sigma = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbb{E}\left[(\mathbf{X} - \mathbb{E}\mathbf{X})(\mathbf{Y} - \mathbb{E}\mathbf{Y})^{\top}\right], Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Sigma = (\sigma_{ij}) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i,Y_j) \equiv \mathbb{E}\left[(X_i - \mathbb{E}X_i) (Y_j - \mathbb{E}Y_j)\right],\; i=1,\ldots, n,\; j = 1,\ldots, m , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{E} - математическое ожидание .

Свойства матриц ковариации

  • Сокращённая формула для вычисления матрицы ковариации:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X}) = \mathbb{E}\left[\mathbf{X} \mathbf{X}^{\top}\right] - \mathbb{E}[\mathbf{X}] \cdot \mathbb{E}\left[\mathbf{X}^{\top}\right] . Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \ge 0 .
  • Смена масштаба:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}\left(\mathbf{a}^{\top} \mathbf{X}\right) = \mathbf{a}^{\top} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{a},\; \forall \mathbf{a} \in \mathbb{R}^n .
  • Если случайные векторы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc нескоррелированы (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc ), то
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X} + \mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}) + \mathrm{cov}(\mathbf{Y}) .
  • Матрица ковариации аффинного преобразования :
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}\left(\mathbf{A} \mathbf{X} + \mathbf{b}\right) = \mathbf{A} \mathrm{cov}(\mathbf{X}) \mathbf{A}^{\top} ,

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{A} - произвольная матрица размера Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n \times n , а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{b}\in \mathbb{R}^n .

  • Перестановка аргументов:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{Y},\mathbf{X})^{\top}
  • Матрица ковариации аддитивна по каждому аргументу:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1 + \mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) = \mathrm{cov}(\mathbf{X}_1,\mathbf{Y}) + \mathrm{cov}(\mathbf{X}_2,\mathbf{Y}) , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1 + \mathbf{Y}_2) = \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_1) + \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}_2) .
  • Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{X} и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbf{Y} независимы, то
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y}) = \mathbf{0} .

Условная ковариационная матрица

Ковариационная матрица случайного вектора является характеристикой его распределения. В случае (многомерного) нормального распределения математическое ожидание вектора и его ковариационная матрица полностью определяют его распределение. Характеристиками условного распределения одного случайного вектора при условии заданного значения другого случайного вектора являются соответственно условное математическое ожидание (функция регрессии) и условная ковариационная матрица.

Пусть случайные векторы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc имеют совместное нормальное распределение с математическими ожиданиями Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mu_X, \mu_Y , ковариационными матрицами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): V_X, V_Y и матрицей ковариаций Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_{XY} . Это означает, что объединенный случайный вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \boldsymbol Z = \begin{bmatrix} \boldsymbol X \\ \boldsymbol Y \end{bmatrix} подчиняется многомерному нормальному распределению с вектором математического ожидания Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \boldsymbol \mu_{Z} = \begin{bmatrix} \boldsymbol \mu_X \\ \boldsymbol \mu_Y \end{bmatrix}, и ковариационной матрицей которую можно представить в виде следующей блочной матрицы

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \boldsymbol V_Z = \begin{bmatrix} \boldsymbol V_X & \boldsymbol C_{XY} \\ \boldsymbol C_{YX} & \boldsymbol V_{Y} \end{bmatrix} где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_{YX}=C^T_{XY}

Тогда случайный вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y при заданном значении случайного вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X имеет нормальное распределение (условное) со следующим условным математическим ожиданием и условной ковариационной матрицей

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): E(Y|X=x)=\mu_Y+C_{YX}V^{-1}_X(x-\mu_X), \qquad V(Y|X=x)=V_Y-C_{YX}V^{-1}_XC_{XY}

Первое равенство определяет функцию линейной регрессии (зависимости условного математического ожидания вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y от заданного значения x случайного вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X ), причем матрица Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): C_{XY}V^{-1} - матрица коэффициентов регрессии.

Условная ковариационная матрица представляет собой матрицу ковариаций случайных ошибок линейных регрессий компонентов вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y на вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X .

В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y - обычная случайная величина (однокомпоненнтный вектор), условная ковариационная матрица - это условная дисперсия (по существу - случайной ошибки регрессии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): Y на вектор Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X )

Напишите отзыв о статье "Ковариационная матрица"

Примечания

Отрывок, характеризующий Ковариационная матрица

Фиолетовые глаза очень внимательно несколько секунд меня изучали, а потом прозвучал неожиданный ответ:
– Я так и думала – ты ещё спишь... Но я не могу тебя разбудить – тебя разбудят другие. И это будет не сейчас.
– А когда? И кто будут эти – другие?..
– Твои друзья... Но ты не знаешь их сейчас.
– А как же я буду знать, что они друзья, и что это именно они? – озадаченно спросила я.
– Ты вспомнишь, – улыбнулась Вэя.
– Вспомню?! Как же я могу вспомнить то, чего ещё нет?..– ошарашено уставилась на неё я.
– Оно есть, только не здесь.
У неё была очень тёплая улыбка, которая её необыкновенно красила. Казалось, будто майское солнышко выглянуло из-за тучки и осветило всё вокруг.
– А ты здесь совсем одна, на Земле? – никак не могла поверить я.
– Конечно же – нет. Нас много, только разных. И мы живём здесь очень давно, если ты это хотела спросить.
– А что вы здесь делаете? И почему вы сюда пришли? – не могла остановиться я.
– Мы помогаем, когда это нужно. А откуда пришли – я не помню, я там не была. Только смотрела, как ты сейчас... Это мой дом.
Девчушка вдруг стала очень печальной. И мне захотелось хоть как-то ей помочь, но, к моему большому сожалению, пока это было ещё не в моих маленьких силах...
– Тебе очень хочется домой, правда же? – осторожно спросила я.
Вэя кивнула. Вдруг её хрупкая фигурка ярко вспыхнула... и я осталась одна – «звёздная» девочка исчезла. Это было очень и очень нечестно!.. Она не могла так просто взять и уйти!!! Такого никак не должно было произойти!.. Во мне бушевала самая настоящая обида ребёнка, у которого вдруг отняли самую любимую игрушку... Но Вэя не была игрушкой, и, если честно, то я должна была быть ей благодарна уже за то, что она вообще ко мне пришла. Но в моей «исстрадавшейся» душе в тот момент крушил оставшиеся крупицы логики настоящий «эмоциональный шторм», а в голове царил полный сумбур... Поэтому ни о каком «логическом» мышлении в данный момент речи идти не могло, и я, «убитая горем» своей страшной потери, полностью «окунулась» в океан «чёрного отчаяния», думая, что моя «звёздная» гостья больше уже никогда ко мне не вернётся... Мне о скольком ещё хотелось её спросить! А она так неожиданно взяла и исчезла... И тут вдруг мне стало очень стыдно... Если бы все желающие спрашивали её столько же, сколько хотела спросить я, у неё, чего доброго, не оставалось бы время жить!.. Эта мысль как-то сразу меня успокоила. Надо было просто с благодарностью принимать всё то чудесное, что она успела мне показать (даже если я ещё и не всё поняла), а не роптать на судьбу за недостаточность желаемого «готовенького», вместо того, чтобы просто пошевелить своими обленившимися «извилинами» и самой найти ответы на мучившие меня вопросы. Я вспомнила бабушку Стеллы и подумала, что она была абсолютно права, говоря о вреде получения чего-то даром, потому что ничего не может быть хуже, чем привыкший всё время только брать человек. К тому же, сколько бы он ни брал, он никогда не получит радости того, что он сам чего то достиг, и никогда не испытает чувства неповторимого удовлетворения оттого, что сам что-либо создал.
Я ещё долго сидела одна, медленно «пережёвывая» данную мне пищу для размышлений, с благодарностью думая об удивительной фиолетовоглазой «звёздной» девчушке. И улыбалась, зная, что теперь уже точно ни за что не остановлюсь, пока не узнаю, что же это за друзья, которых я не знаю, и от какого такого сна они должны меня разбудить... Тогда я не могла ещё даже представить, что, как бы я не старалась, и как бы упорно не пробовала, это произойдёт только лишь через много, много лет, и меня правда разбудят мои «друзья»... Только это будет совсем не то, о чём я могла когда-либо даже предположить...
Но тогда всё казалось мне по-детски возможным, и я со всем своим не сгорающим пылом и «железным» упорством решила пробовать...
Как бы мне ни хотелось прислушаться к разумному голосу логики, мой непослушный мозг верил, что, несмотря на то, что Вэя видимо совершенно точно знала, о чём говорила, я всё же добьюсь своего, и найду раньше, чем мне было обещано, тех людей (или существ), которые должны были мне помочь избавиться от какой-то там моей непонятной «медвежьей спячки». Сперва я решила опять попробовать выйти за пределы Земли, и посмотреть, кто там ко мне придёт... Ничего глупее, естественно, невозможно было придумать, но так как я упорно верила, что чего-то всё-таки добьюсь – приходилось снова с головой окунаться в новые, возможно даже очень опасные «эксперименты»...
Моя добрая Стелла в то время почему-то «гулять» почти перестала, и, непонятно почему, «хандрила» в своём красочном мире, не желая открыть мне настоящую причину своей грусти. Но мне всё-таки как-то удалось уговорить её на этот раз пойти со мной «прогуляться», заинтересовав опасностью планируемого мною приключения, и ещё тем, что одна я всё же ещё чуточку боялась пробовать такие, «далеко идущие», эксперименты.
Я предупредила бабушку, что иду пробовать что-то «очень серьёзное», на что она лишь спокойно кивнула головой и пожелала удачи (!)... Конечно же, это меня «до косточек» возмутило, но решив не показывать ей своей обиды, и надувшись, как рождественский индюк, я поклялась себе, что, чего бы мне это не стоило, а сегодня что-то да произойдёт!... Ну и конечно же – оно произошло... только не совсем то, чего я ожидала.
Стелла уже ждала меня, готовая на «самые страшные подвиги», и мы, дружно и собранно устремились «за предел»...
На этот раз у меня получилось намного проще, может быть потому, что это был уже не первый раз, а может ещё и потому, что был «открыт» тот же самый фиолетовый кристалл... Меня пулей вынесло за предел ментального уровня Земли, и вот тут-то я поняла, что чуточку перестаралась... Стелла, по общему договору, ждала на «рубеже», чтобы меня подстраховать, если увидит, что что-то пошло не так... Но «не так» пошло уже с самого начала, и там, где я в данный момент находилась, она, к моему великому сожалению, уже не могла меня достать.